The first sentence can only mean "also/too", because this is basically just the も particle coming in between the で(も)ある copula. It can't mean "or something" because the で is a part of である and NOT でも, so も needs a separate で like in the 2nd sentence.
Yes.
this is a variation of~ に引目がある, where が disappears behind でも. So this time it's not the copula "である", just でも+ある(exist/have).
Yes.
There is no problem with 彼(に)は世話してもらうことが引け目ででもある
かのようだ, but #2 彼(に)は世話してもらうことが引け目ででもある sounds awkward. 彼は世話してもらうことに引け目でもある is as well, therefore I used 彼は世話してもらうことに引け目でもある
かのようだ as an example in my previous post. でも only means "or something" in 引け目でもあるかのようだ, and can't mean "even", as I wrote "でも(= or something)".
彼(に)は世話してもらうことが引け目である and 彼は世話してもらうことに引け目がある are almost the same in meaning.
I simplified the structure to 彼(に)は世話してもらうことが引け目である in order to make easier to understand, but grammatically, 彼は世話を受けているということ
を引け目であるかのように思い込んでいる and 彼は世話を受けているということ
が引け目であるかのように思い込んでいる have different sentence structures. The former, i.e., the original is "He feels receiving help as his weakness" since 世話を受けているということ is the object of 思い込んでいる. On the other hand, the whole clause 世話を受けているということが引け目である is the object of 思い込んでいる in the latter case, so it means "He feels that receiving help is his weakness". The copula is needed after 引け目 in both cases anyway, though (世話を受けること
を引け目
だと思う vs 世話を受けること
が引け目
だと思う).
Finally, でも can mean both "even" and "or something" in the original sentence. Actually, "even" is my initial interpretation, and I believe this ambiguity is exactly Dazai's intention to choose でも, and not さえ.