よう or ように is used for embedded order, request, advice, etc., similar to ~かどうか for embedded yes-no question. It can be used also for the contents of those things, not only what is really said.
e.g.
direct quotation
警官が「車を止めなさい」と言った。
embedded/indirect quotation (order)
警官が車を止めるよう言った。
direct quotation
彼は「道を譲ってよ」と要求した。
embedded/indirect quotation (request)
彼は道を譲るよう要求した。
direct quotation
医者は「野菜をもっと食べたほうがいいですよ」と勧めた。
embedded/indirect quotation (advice/recommendation)
医者は野菜をもっと食べるよう勧めた。
cf.
direct quotation
彼女は「彼は来たの」と聞いた。
embedded/indirect quotation (yes-no question)
彼女は彼が来たかどうか聞いた。
As for your example sentence, it's a very polite request written directly to the readers, so you can think that ご寄付くださいますよう is a very polite version of ご寄付くださるよう.
e.g.
objective description
direct quotation
社長に「この計画はお止めになってください」と申し上げた。
embedded/indirect quotation (advice)
社長にこの計画はお止めになるよう申し上げた。
polite advise written directly to the reader (= the president)
この計画はお止めになりますよう申し上げます。
objective description
direct quotation
彼は「道を譲ってくださいませんか」とお願いした。
embedded/indirect quotation (request)
彼は道を譲ってくれるようお願いした。
polite request written directly to the readers
道を譲ってくださいますようお願いいたします。
As you can see above, polite forms like なりますよう or くださいますよう are used when being written directly to the reader(s), i.e., these polite forms are not used in objective descriptions (e.g. 彼は道を譲ってくれますようお願いした。 is odd).