1)
Yes, it's ひるごはんを, not に.
The order of words are relatively free in Japanese, so かぞくと ひるごはんを たべます and ひるごはんを かぞくと たべます are both OK.
2)
いきます is a form used at the end of a sentence, so a period should be put after it. "And " is そして.
それから ははと くるまで スーパーへ いきます
。 そして やさいとにくを かいます。
You can use the -te form いって or -masu stem いき to connect clauses, but you may not have learned yet.
それから ははと くるまで スーパーへ いって、 やさいとにくを かいます。
それから ははと くるまで スーパーへ いき、 やさいとにくを かいます。
3)
Correct.