As Julie-san already answered correctly, and as you already realized, 何も is an adverb which modifies the verb しなかった, not the noun 音, so the word order 別に音が何もしなかった, or even 音が何も別にしなかった is also acceptable.
As for the difference between 何も and 全然/全く, 何も cannot be used for animate objects, thus, 人が何もいなかった or 鳥が何もいなかった is invalid. You need to use 誰も for people, or "1+counter+も" for animals (人が誰もいなかった/鳥が一羽もいなかった, 人が一人もいなかった is also OK).
Furthermore, 何も has a meaning of "any kinds of", so it cannot be used for specified things.
e.g.
〇この部屋には家具が何もない。
This sentence is valid since many kinds of furniture are possible, such like chair, table, bookshelf, etc.
×この部屋には椅子が何もない。
On the other hand, this is invalid since chair is already specified. You need to say 椅子が一つもない instead.
Here's other examples.
〇食べ物を何も食べていない。
×パンを何も食べていない。
〇花が何も咲いていない。
×桜が何も咲いていない。
〇服を何も着ていない。
×Tシャツを何も着ていない。
全然/全く can be used for all these cases, including animate objects or people.
〇食べ物を全然/全く食べていない。
〇パンを全然/全く食べていない。
〇鳥が全然/全くいなかった。
〇人が全然/全くいなかった。